A normalized variable-order time-fractional diffusion equation

Chaeyoung Lee

doi:10.1016/j.physa.2025.131052

A normalized variable-order time-fractional diffusion equation

2025-10-16

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DOI：10.1016/j.physa.2025.131052

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本文中，我们提出了一种归一化的变阶分数阶时间扩散方程，能够有效模拟具有演化记忆效应的非线性扩散现象。归一化确保了分数阶算子在不同阶数下的尺度一致性，从而使得数值模拟更加准确和稳定。与传统的固定阶模型不同，所提出的公式允许分数阶随时间变化，这导致对在各类物理和生物系统中观察到的非局部和非均匀扩散现象的描述更加准确和灵活。引入一个归一化因子，以确保相关权重函数保持总和为1，从而保持记忆表示的一致性。为求解所得方程，开发了一种有限差分离散化方法，该方法考虑了分数阶导数的时间变化特性。进行了数值模拟以研究不同变阶函数对解动力学的影响。计算结果表明，即使时间平均分数阶相同，阶数的时间变化对扩散剖面的演化产生显著影响。特别是，所提出的模型能够捕捉到固定阶方法无法实现的快速和慢速扩散模式之间的转换。此外，还表明当分数阶在最终时刻达到零时，数值解与使用单一大时间步的全隐式欧拉方法得到的结果一致。这一观察为记忆衰减与解行为之间的相互作用提供了进一步的见解。所提出的方法为模拟时变非线性扩散提供了一个计算上可行且物理上一致的框架。

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