Canonically centered coordinates for Grassmann interpolation: Lagrange, Hermite, and errors

Jensen, Rasmus

doi:10.1007/s10543-026-01123-x

2026-04-14

Jensen, Rasmus *

Ralf Zimmermann

DOI：10.1007/s10543-026-01123-x

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摘要

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我们在 Grassmann 流形上研究黎曼插值的数值方面。我们并不依赖黎曼正则坐标，即黎曼指数和对数映射，而是采用另一组局部坐标及其对应的参数化方法来处理插值问题。我们证明这些坐标定义了一个二阶回撤映射。数值评估在形式上不需要矩阵分解，这是相对于黎曼正则坐标和 Grassmann 流形上的许多其他回撤映射的优势，尤其是在处理导数数据时。为了估计插值误差，我们考察了坐标映射的条件数并给出了明确的界限。结果表明，参数化是良态的，但坐标图通常不是。为解决此问题，我们引入了基于齐次过渡到 Grassmann 数据点正则 Stiefel 表征的规范中心坐标，该数据点被选作坐标中心。我们证明，Gr(n,p) 上渐近插值误差的量级与欧几里得空间相同。数值实验验证了这些结论。第一个是学术性的，其中我们插值一个参数化正交投影矩阵 QQT，Q 因子来自参数化紧凑 QR 分解。此外，我们评估了计算时间，给出了一个闭式黎曼正则坐标难以处理的示例，并在动态系统的参数化模型降阶背景下进行了一项实验，其中我们插值由正交分解获得的降维子空间。

Keyword:

Grassmann manifold

interpolation

retraction

local coordinates

Riemannian computing

Riemannian normal coordinates