Column-RandONets: Direction-structured random projection operator learning for parametric partial differential equations

doi:10.1016/j.cnsns.2026.110792

Column-RandONets: Direction-structured random projection operator learning for parametric partial differential equations

2026-09-10

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DOI：10.1016/j.cnsns.2026.110792

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基于随机投影的算子网络（RandONets）表明，具有固定随机嵌入和闭式最小二乘训练的浅层算子学习器能够以速度和精度逼近线性和非线性一维算子。然而，它们对二维参数偏微分方程的直接扩展，并非仅通过加倍输入尺寸即可实现。如果将二维场展平为单个长向量，张量积几何、方向相关性以及弱耦合的交叉方向结构会在分支表示中混合；同时，随机投影的维度随完整网格乘积缩放，导致内存和计算膨胀。本文我们引入列-随机投影神经算子（Column-RandONets），用于处理对齐的二维数据。该方法逐列学习矩阵场：共享的一维主干解析x方向，共享的列分支编码当前列，低维的前向和后向随机上下文状态总结沿y方向的横向交互。读出矩阵通过正则化最小二乘获得，并支持流式实现。我们证明在二维极限下与经典RandONets的一致性缩减，建立了一类方向可分解二维算子的统一逼近结果，并推导出明确的整体误差界，显示局部状态和列误差的累积方式。Burgers、Nagumo、Poisson、Darcy和Navier–Stokes问题的数值示例表明，Column-RandONets能在实现较高精度的同时实现极快的闭式训练，在多个扩散和椭圆基准测试中表现良好。然而，其预测性能与问题相关，竞争力较弱的Navier–Stokes结果表明当前的方向-记忆表示存在局限性。

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