Constrained Quantization for Probability Distributions

Megha Pandey

doi:10.3390/math14030529

Constrained Quantization for Probability Distributions

2026-02-02

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M

Megha Pandey

M

Mrinal Kanti Roychowdhury *

DOI：10.3390/math14030529

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在本工作中，我们通过引入和分析第n阶约束量化误差、约束量化维度和约束量化系数的概念，扩展了在Rk范数空间上定义的Borel概率测量的经典量化框架。这些概念推广了传统上在无约束设置中考虑的、已确立的第n阶量化误差、量化维度和量化系数，从而拓宽了量化理论的范围。无约束框架与约束框架的关键区别在于最优量化器的结构性质。在无约束设置中，如果P的支持集包含至少n个元素，则最优n点集的元素与其各自的Voronoi区域上的条件期望重合；这种特征在约束下通常不持续存在。此外，已知如果P的支持集包含至少n个元素，则无约束情况下任何最优n点集恰好由n个不同元素组成。然而，这一性质在约束背景下可能不成立。进一步的差异体现在渐进行为上。对于绝对连续概率测度，已知无约束量化维度存在且等于基础空间的欧几里得维度。相比之下，我们证明这种等价性不一定延伸到约束设置。此外，虽然无约束量化系数存在并为绝对连续测度取唯一、有限且正值，我们确立约束量化系数可能表现出显著变异性，并可能达到任何非负值，这严重依赖于量化过程中施加的具体约束性质。

Keyword:

probability measure

constrained quantization error

optimal sets of n-points

constrained quantization dimension

constrained quantization coefficient

Constrained Quantization for Probability Distributions

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