Cutting corners

Andrey Kupavskii

doi:10.1016/j.jctb.2025.11.008

2025-12-01

PRE

Andrey Kupavskii *

Арсений Сагдеев

Dmitrii Zakharov

DOI：10.1016/j.jctb.2025.11.008

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摘要

En 中文

我们称Rⁿ的一个子集M是指数意义下的拉姆齐集，如果存在ε>0和n(0)，使得对于任意n>n(0)，有χ(Rⁿ, M) > (1 + ε)ⁿ，其中χ(Rⁿ, M)表示对Rⁿ进行着色时，使得M的任何副本都不是单色的着色所需的最少颜色数。欧几里得拉姆齐理论中的一个重要结果是Frankl和Rödl提出的，其内容如下（在附加一些温和条件下）：如果N₁和N₂都是指数意义下的拉姆齐集，那么它们的笛卡尔积也是。将该结果多次应用于简单的双点集Nᵢ，可推出任何'超矩形'N₁ × ... × Nₖ的子集M都是指数意义下的拉姆齐集。然而，通常情况下，这种M的'嵌入'会导致前述ε的界非常不理想。在本文中，我们提出了一种结合指数意义下拉姆齐集的另一种方法，该方法在某些重要情况下给出了更好的估计。特别是，我们证明了禁止等边三角形的Rⁿ的色数满足χ(Rⁿ, Δ) ≥ (1.0742... + o(1))ⁿ，大大改进了之前的常数1.0144。我们还对更高维的正则单形以及曼哈顿范数下的相关几何拉姆齐型问题得到了类似的强结果。然后我们证明，同样的技术可在其他组合问题中推导出若干有趣的推论。特别是，我们给出了一个显式上界，用于限制不包含弱k-向日葵的集合族F ⊂ 2ⁿ的大小，即不包含k个集合的集合族，其中任意两个集合的交集大小相同。该上界改进了所有k ≥ 4时的已知结果。最后，我们还通过Frankl和Wilson的早期结果，简洁地推导出（另一条）著名的Frankl-Rödl定理，其给出了已知最短且界最有效的Frankl和Rödl结果证明。

Keyword:

Weak sunflowers

Forbidden intersections

Euclidean Ramsey theory