Derangements in intransitive groups

David Ellis

doi:10.1112/jlms.70457

2026-02-01

David Ellis

Scott Harper *

DOI：10.1112/jlms.70457

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摘要

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设 \( G \) 为阶数为 \( n \) 的非平凡置换群。若 \( G \) 是传递的，则 Jordan 定理指出 \( G \) 存在错排。等价地，有限群从不等于一个真子群的共轭并集。若 \( G \) 是非传递的，则 \( G \) 可能不存在错排，即使 \( G \) 仅有两个轨道，且它们的规模均为 \( (1/2 + o(1))n \)。然而，我们猜想若 \( G \) 有两个规模恰好为 \( n/2 \) 的轨道，则 \( G \) 存在错排，并证明当 \( G \) 在至少一个轨道上原始作用时，此猜想成立。等价地，我们猜想有限群从不等于两个同阶真子群的共轭并集，并证明当至少一个子群是极大子群时，此猜想成立（Feldman 也隐式地在 StackExchange 上提出了此猜想）。我们还证明了该猜想对可解群、几乎单群以及阶数不超过 50 000 的群成立，并将猜想约化到完美群。在此过程中，我们证明了关于素幂阶错排的 Isbell 猜想的线性变体，并强调了其与置换的相交族及素模多项式根的联系。

Keyword:

EXCEPTIONAL GROUPS

INTERSECTING FAMILIES

MAXIMAL-SUBGROUPS

KRONECKER CLASSES

LIE TYPE

FINITE

THEOREM

NUMBER

ORDERS