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Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs
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AI
DOI：10.1093/imanum/draf146.png)
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摘要
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基于经典有限元逼近的有限元算子网络是一种无需依赖数据的算子学习方法，本文对其进行理论分析。首先，我们针对一般二阶线性椭圆型偏微分方程，建立了该方法在神经网络逼近参数下的收敛性，并强调了有限元矩阵条件数在方法收敛中的作用。其次，我们推导了自伴情形下的显式误差估计。为此，我们研究了神经网络逼近下解在某些函数空间中的正则性性质，验证了解具有所需正则性的充分条件。最后，我们进行了数值实验以支持理论结果，证实了有限元矩阵条件数对整体收敛的显著影响，该影响可通过预处理技术得到显著改善。
Keyword:
unsupervised operator learning
convergence analysis
finite element method
condition number
approximation error
generalization error
