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First-Order Optimality Conditions for Non-Commutative Optimization Problems
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AI
DOI：10.1007/s10208-026-09761-x.png)
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摘要
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我们考虑在所有满足多项式约束的状态和算子以及所有定义了这些状态和算子的希尔伯特空间中，优化非对易变量的多项式的状态平均值的问题。此类非对易多项式优化（NPO）问题通常通过半定规划（SDP）松弛的层次结构来求解。通过将一般NPO问题以拉格朗日形式表述，我们通过问题变量的小变化启发式地推导出最优性的一阶条件。尽管推导不够严谨，但它引出了两种类型的最优性条件——状态和算子条件，这些条件在本文中得到了严谨的分析。这两种条件都可以通过在SDP层次结构中添加额外的半正定约束来实现。状态最优性条件被证明适用于所有NPO问题。对于具有最优解的NPO问题（例如，阿基米德问题），它们允许引入一种新的约束类型：即将状态上的优化限制在任意数量算子的共同基态集合上。算子最优性条件是非对易的Karush–Kuhn–Tucker（KKT）条件的类比，这些条件已知在许多经典优化问题中成立。在这方面，我们证明了对于所有NPO问题都成立算子最优性的弱形式；更强的版本要求问题的约束满足某种资格准则，就像经典情况一样（例如：Mangasarian–Fromovitz约束资格）。我们通过计算多体自旋系统的基态的局部性质和Bell不等式的最大量子违背，来测试新最优性条件的作用。
Keyword:
Noncommutative polynomial optimization
Optimality conditions
Semidefinite programming
Bell nonlocality
Statistical physics
AI总结
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