Gaussian Processes simplify differential equations

doi:10.1016/j.physd.2025.134988

Gaussian Processes simplify differential equations

2025-10-27

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DOI：10.1016/j.physd.2025.134988

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在本研究中，我们使用高斯过程（核方法）来学习不同微分方程轨迹之间的映射关系。我们的目标是简化这些方程的表示和求解。我们首先考察科尔–霍普夫变换，这是一种经典结果，可将非线性黏性伯格斯方程转化为线性热方程。我们证明，这种变换可以通过高斯过程回归有效学习，无论是基于伯格斯方程的单个还是多个初始条件。随后，我们将该方法扩展至发现非线性偏微分方程（PDE）初始条件与线性PDE之间的映射，其中线性PDE的精确形式未知，并通过计算图补全（CGC）推断，CGC是高斯过程回归的推广，用于从近似单个输入/输出函数扩展到近似计算图中交互的多个输入/输出函数。此外，我们利用CGC识别布鲁塞尔振子非线性常微分方程（ODE）到其庞加莱正则形式的局部变换，捕捉霍普夫分岔点周围的动力学。我们还通过算法信息论（AIT）和最小描述长度（MDL）原则解释学习过程，将这些变换视为高效的简洁编码，将非线性动力学压缩为更简单的线性化表示。这种MDL视角不仅为基于核的回归方法提供了理论依据，还阐明了核学习与模型简洁性和数据压缩原则之间的关系，表明在再生核希尔伯特空间（RKHS）中的学习同时最小化了柯尔莫哥洛夫复杂度的代理指标，并最大化了数据与变换之间的算法互信息。最后，我们探讨了非线性与线性PDE之间是否存在系统性变换的更广泛问题，并提出了未来研究的方向。

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