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Gradient-based optimization of basis function methods for solving nonlinear time-dependent PDEs
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AI
DOI：10.1016/j.camwa.2026.06.025.png)
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摘要
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我们介绍基函数优化（BFOpt），一种基于梯度的求解时变非线性偏微分方程（PDEs）的框架。与黑箱神经网络求解器不同，BFOpt是一种基于网格的方法，通过空间基函数的组合来近似解。对于2D热方程（线性），BFOpt实现的均方误差（MSE）低于10−8，优于深度有限差分方法（DFDM）。对于具有雷诺数R=100、200和300的2D对流-扩散方程（非线性），BFOpt在常规60×60网格上以低于1分钟的CPU时间获得低于0.008的平均绝对误差——在该工况下，许多数值和深度学习方法需要额外的稳定化处理。该算法通过观察哪些系数随时间步变化来自动识别时变参数。在5000个散乱点上，BFOpt从t=0到t=1求解相同方程仅需250秒CPU时间，而离散时间PINN（Crank-Nicolson）需要2000秒且误差更大（高于10−2），凸显了BFOpt在计算和精度上的优势。该方法对所有测试时间步（Δt≤0.01）均稳定，并提供了基于学习理论的统一β-稳定性分析。