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Least squares extreme learning machine collocation method for solving elliptic interface problems with sharp corners
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AI
DOI：10.1016/j.enganabound.2026.107063.png)
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摘要
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椭圆界面问题涉及间断系数、非平凡传递条件和复杂几何形态，在科学与工程应用中广泛出现。此类问题可能包含弯曲界面、不规则外部边界以及具有尖角的折线形界面。尽管尖角通常会导致局部解奇异性，其行为依赖于角角度、界面构型及系数对比，但本研究主要关注非光滑界面几何形态和间断材料系数的数值处理。特别是，数值算例主要基于分段光滑的构造解，旨在评估在几何复杂域上强制实施控制方程、边界条件及界面传递条件的有效性。我们提出了一种基于最小二乘极限学习机（LS-ELM）的配置法用于椭圆界面问题。物理域被分解为通过界面分隔的子域，每个子域内构建一个独立的单隐层极限学习机。隐层权重和偏置随机生成并固定，仅计算输出层系数。这种分段表示使数值逼近能够适应间断系数及不同子域中解行为的差异。控制微分方程、狄利克雷边界条件及界面条件在配置点施加并组装为全局线性代数系统。神经网络基函数及其一阶和二阶导数通过链式法则解析计算。坐标归一化被引入以确保导数从归一化坐标到物理坐标的一致转换。所得最小二乘公式包含各子域内的PDE残差、外部边界上的边界残差以及与界面跨界面解和通量传递条件相关的残差。未知输出系数通过正则化线性最小二乘问题获得，从而避免了传统物理信息神经网络所需的迭代非线性优化和重复反向传播。数值实验针对各类光滑与非光滑界面几何形态展开，包括弯曲界面、具有尖角的折线形界面，以及高对比扩散系数问题。所提方法与径向基函数无网格方法、物理信息神经网络、改进型物理信息神经网络及函数连接极值理论方法进行比较。结果表明，LS-ELM能在显著减少计算时间的同时提供精确逼近，优于基于梯度的神经网络方法。在多数测试案例中，该方法达到与参考方法相当甚至更优的精度。进一步进行了敏感性研究，以探究激活函数、随机初始化范围、配置点分布、约束权重及蒂克霍诺夫正则化参数的影响。结果显示，激活函数和初始化尺度显著影响逼近精度和矩阵条件数，而适当加权边界和界面约束可增强物理条件的强制实施。正则化能缓解病态配置矩阵引起的数值困难，但过度正则化可能引入逼近偏差并降低精度。不同随机种子重复计算和条件数分析表明所提方法具有良好的鲁棒性。结果表明，LS-ELM是处理间断系数和几何非光滑界面的椭圆界面问题的高效灵活无网格方法。
Keyword:
Elliptic interface problems
Least squares
Extreme learning machine
Sharp corners
Tikhonov regularization
