Lecture notes on Malliavin calculus in regularity structures

doi:10.1007/s40072-025-00384-x

Lecture notes on Malliavin calculus in regularity structures

2025-09-01

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DOI：10.1007/s40072-025-00384-x

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马利雅文微积分（Malliavin calculus）为正则结构（regularity structures）中的中心模型提供了一种刻画，该刻画在去除小尺度截断（small-scale cut-off）后保持稳定。结合谱间隙不等式（spectral gap inequality），它可以导出该模型的状态估计。这一方法在模型概念（model notion）的层面上变得清晰，该概念参数化了解流形（solution manifold），因此由多重指标（multi-indices）而非树（trees）索引，并允许从几何而非组合的角度进行更深入的分析。在这些讲义中，该方法被应用于一个带有热算子、三次非线性项并由加性噪声驱动的偏微分方程（PDE），该方程让人联想到欧几里得φ<^>4模型（Euclidean phi 4 model）的随机量子化。更准确地说，我们非正式地阐述了我们关于模型（Pi,Gamma）（（Π,Γ））的概念，将其分别视为非线性解流形的图（charts）和转移映射（transition maps）。这些几何对象通过形式幂级数及其代数自同构（algebra automorphisms）进行代数化。我们将方向马利雅文导数（directional Malliavin derivative）同化（assimilate）为解流形的切向量（tangent vector），这意味着它可以被视为一个被建模的分布（modelled distribution），从而将随机模型估计与路径解理论（pathwise solution theory）联系起来，后者包含其分析工具，如重构（reconstruction）和积分（integration）。我们展开了一种归纳计算（inductive calculus），该计算能够以自动化方式应用于全亚临界范围（full subcritical range）。

Keyword:

Singular SPDE

Regularity Structures

BPHZ renormalization

Malliavin calculus

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