Locality in sumsets

doi:10.1016/j.aim.2025.110727

Locality in sumsets

2025-12-01

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DOI：10.1016/j.aim.2025.110727

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受多项式弗雷明-鲁斯萨（PFR）猜想启发，我们发展了和集上的局部性理论，并将其应用于约翰型逼近以及小增长集合的稳定性研究中。其中一项突出成果表明，若 \( A \subset \mathbb{Z} \) 满足 \( |A + A| \leq (1 - \varepsilon)2^{(d)}|A| \) 且 \( A \) 非退化，则 \( A \) 可被 \( \mathcal{O}(2^{(d)}) \) 个 \( d \) 维广义算术级数（\( d \)-GAP）\( P \) 的平移覆盖，且 \( |P| \leq \mathcal{O}_{d,\varepsilon}(|A|) \)；由此在 \( A \) 未能被 \( \mathcal{O}_{d,\varepsilon}(1) \) 个 \( (d-1) \)-GAP 高效覆盖的非退化假设下，我们获得了PFR所需的一个多项式界。我们还证明了稳定性结果：对于任意 \( \varepsilon, \alpha > 0 \)，若 \( A \subset \mathbb{Z} \) 满足 \( |A + A| \leq (2 - \varepsilon)2^{(d)}|A| \) 且 \( A \) 非退化，则存在 \( A' \subset A \) 满足 \( |A'| > (1 - \alpha)|A| \)，且 \( A' \) 可被 \( (d+1) \)-GAP 或 \( \mathcal{O}_{\alpha}(1) \) 个 \( d \)-GAP 的平移高效覆盖。这一“维度无关”近似覆盖界与精确覆盖形成鲜明对比，后者所需的平移数量不仅随 \( d \) 增长，且呈指数增长。另一项突出成果表明，若 \( A \subset \mathbb{Z} \) 非退化且 \( |A + A| \leq (2^{(d)} + \ell)|A| \)（\( \ell \leq 0.1 \cdot 2^{(d)} \)），则 \( A \) 可被 \( \ell + 1 \) 个 \( d \)-GAP \( P \) 的平移覆盖，且 \( |P| \leq \mathcal{O}_d(|A|) \)；这一结果最优，因为 \( \ell + 1 \) 无法被更小的数替代。上述结果在 \( A \subset \mathbb{R}^d \) 时亦成立，此时用广义凸级数（我们称之为广义凸级数）替代GAP，该条件自动满足非退化性，因此无需额外假设即可获得近乎最优的界。在此框架下，我们证明若 \( A \subset \mathbb{R}^k \) 满足 \( |A + A/2| \leq (1 + \delta)|A| \)（\( \delta \in (0, 1) \)），则存在 \( A' \subset A \) 满足 \( |A'| \geq (1 - \delta)|A| \) 且 \( |\text{co}(A')| \leq \mathcal{O}_{k,\delta}(|A|) \)。这是等集布伦-明可夫斯基不等式的维度无关精确稳定性结果，暗示了普雷科帕-莱因德勒不等式可能存在类似物。所有结果均源自统一理论，我们引入了集合的新内在结构近似——加性包（additive hull），并通过具有附加分离性质的弗里曼定理的精化发展了其理论。另一项将单独发表的进一步应用是鲁斯萨离散布伦-明可夫斯基猜想的证明。（c）2025 作者。由爱思唯尔公司出版。本文为开放获取文章，采用CC BY许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。

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Additive Combinatorics

Sumset

Convex progression

Generalized arithmetic progression

Freiman's Theorem

John's Theorem

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