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Maximum Principles for Fractional Diffusion Problems
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AI
DOI：10.3390/sym18020272.png)
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摘要
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最大值原理是线性（及非仅线性）椭圆边值问题的一种广泛应用的质量特性。开发数值方法的一个自然目标是使近似解具有类似的性质。在这种情况下，我们称离散最大值原理成立。在许多情况下，这种要求对于确保计算模型的可靠性至关重要。本文考虑具有扩散和反应项的多维线性椭圆问题。这类问题已研究分析数十年。自相对近期以来，科学家在考虑异常（分数）扩散时面临着概念性的新挑战。本文重点研究谱分数扩散的情况。离散化采用有限差分法和带有集中质量矩阵的有限元法进行。在大型多维问题中，稠密矩阵运算的计算复杂度是关键。为克服此问题，应用了最佳一致有理逼近（BURA）方法来求解出现的稠密线性系统的有效数值解。因此，除了需要满足与用于离散化微分算子的网格方法相关的离散最大值原理外，BURA数值解的单调性问题也出现了。本文结果包括三个方面：(i) 分数扩散-反应问题的最大值原理；(ii) 离散最大值原理的充分条件；(iii) 所研究的BURA或类似逼近方法单调性的充分条件。针对分数幂α∈(1/2,1)的次扩散和常数反应系数，开发了一种新颖、系统的理论分析。理论发现进一步通过数值例子得到支持。
Keyword:
maximum principle
non-negativity preserving
fractional diffusion
rational approximation
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