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Multidimensional Cost Geometry
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DOI：10.3390/axioms15050378.png)
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摘要
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本文研究了由规范互易成本函数及其自然的n维扩展所诱导的几何结构。在对数坐标中，势能仅依赖于线性组合S=alpha·t，且相应的Hessian度量在每一点处秩为一。该几何结构固有地退化且有效为一维，具有一个(n-1)维零分布。另一方面，当同一函数在原始x坐标中表示时，相应的Hessian通常非退化，并在显式奇异超曲面之外定义了一个伪黎曼度量。我们进一步分析了仿射和Levi-Civita测地线并比较了它们的行为。特别地，对数坐标中的仿射测地线全局定义，而在x坐标中其行为受限于定义域和奇异集。最后，我们将该构造与对称化的Itakura-Saito和Bregman散度联系起来，并给出了对数Hessian度量的Fisher-Rao实现。
Keyword:
Hessian geometry
degenerate metric
affine structure
Levi-Civita connection
geodesics
gradient paths
reciprocal cost
