Random Feature Method Solving Second-Order Nonlinear Integrable Systems

Juncai Pu

doi:10.1007/s10915-026-03409-2

2026-07-27

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DOI：10.1007/s10915-026-03409-2

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本研究提出了一种基于随机特征方法（RFM）的框架，用于求解二阶非线性可积系统，该方法表现出高效且高精度的数值性能。与用于求解线性偏微分方程（PDE）或少数相对经典且简单的非线性PDE的其他RFM不同，我们的方法通过利用分割技术、深度神经网络和随机特征函数，专注于求解二阶非线性可积系统。在考虑带有初边值条件的二阶非线性可积系统并引入适当的$$C^\kappa$$连续性条件后，我们构建了一个具有隐式优化系数的新型组装矩阵，并将二阶非线性可积系统的求解问题转化为相应的非线性最小二乘问题。与流行的物理信息神经网络不同，它避免了基于反向传播的损失函数优化，而是通过非线性最小二乘实现以高精度求解等效的非线性方程组。数值实验集中于求解几个重要且具有代表性的二阶非线性可积系统，这些系统具有独特的数学结构、重要的物理意义和丰富的局域波解。其中包括Burgers方程的单孤立波和双孤立波解、Sine-Gordon（SG）方程的扭结和扭结-扭结解、短脉冲方程的脉冲解以及耦合Kraenkel-Manna-Merle系统的单孤子解。数值结果表明，RFM在求解二阶非线性可积系统的局域波解方面具有显著优势，其数值精度比其他深度学习方法高出几个数量级，并且与传统数值方法相比表现出相当或更优的性能。具体而言，对于易于生成网格的可积模型（如Burgers方程），RFM展现出与甚至超越传统数值方法的求解能力，而对于网格生成具有挑战性的可积模型（如SG方程），RFM优于物理信息神经网络。本研究的创新之处在于首次成功将RFM应用于求解二阶非线性可积系统，为研究高阶和高维非线性可积系统的数值局域波解提供了理论参考和实验支持，并为求解可积系统和整合可积系统理论提供了新方法。

Keyword:

Second-order nonlinear integrable systems

Localized wave solutions

Deep neural network

Random feature method