Sharp hypercontractivity for global functions

Nathan Keller

doi:10.4171/jems/1762

Sharp hypercontractivity for global functions

2026-01-01

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DOI：10.4171/jems/1762

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对于函数f:{0,1}^n→R，其傅里叶展开为f=∑_{S⊆{1,…,n}}f^~(S)χ_S，噪声算子的超收缩不等式允许用f的范数来界定T(ρ)f=∑_Sr(|S|/|S|)f^~(S)χ_S的范数。若f为布尔值函数，则层次-d不等式允许用E[f]来界定f^{(d)}=∑_{|S|=d}f^~(S)χ_S的范数。这两个不等式在布尔函数分析及其应用中起着核心作用。虽然当超立方体{0,1}^n赋予均匀测度时，这两个不等式均以精确形式成立，但容易证明它们对更一般的离散乘积空间不成立，而寻找其'自然'推广是一个长期悬而未决的问题。Keevash, Lifshitz, Long和Minzer [J. Amer. Math. Soc. 37, 245-279 (2024)]获得了适用于一般离散乘积空间的超收缩不等式，该不等式对'全局'函数成立——即不受小规模坐标限制的显著影响。该超收缩不等式并非精确形式，这阻碍了其在对称群S_n及其他需要精确界的关键场景中的应用。此外，对于一般离散乘积空间上的全局函数，尚无已知的层次-d精确不等式。我们获得了离散乘积空间上全局函数的超收缩不等式和层次-d不等式的精确形式。我们的不等式为极值集论、群论、理论计算机科学和数论中的多样应用开辟了道路。我们通过证明在弱对称条件下集合相交族和向量族大小的定量界，并描述了利用我们结果获得的诸多应用来展示这一点。这些应用包括对称群S_n上函数的研究——包括超收缩性和层次-d不等式、特征界、Roth定理和Boġolyubov引理的变体，以及直径界，还包括应用于Furstenberg-Sarkozy问题——即{1,…,n}的子集在不含两个相差完全平方数元素时的最大规模问题。

Keyword:

hypercontractivity

global functions

level-d inequality

intersection problems

Sharp hypercontractivity for global functions

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