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Sparse integer-preserving Gram-Schmidt orthogonalization for REF QR factorization
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AI
DOI：10.1007/s11590-025-02228-y.png)
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摘要
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QR分解是数学、计算机科学和运筹学的基础。通常，QR分解在浮点精度下计算，虽然这对大多数应用是合适的，但已被证明会导致高病态输入矩阵出现错误的秩计算、正交性损失或错误解。REF QR分解和保持整数的Gram-Schmidt（IPGS）正交化提供了一种计算任何稠密有理输入矩阵精确QR分解的框架。本文通过推导稀疏IPGS-QR算法，将该框架扩展到稀疏矩阵。值得注意的是，我们展示了整个稀疏IPGS-QR算法的复杂度与其算术工作成本成正比，外加少量开销。重要的是，我们展示了稀疏IPGS-QR算法如何用于分解列满秩矩阵并确定亏秩矩阵的确切秩。据我们所知，本文代表了计算矩阵精确秩的第一种方法，因为它不依赖数值或概率近似。总之，稀疏IPGS-QR算法是解决精确QR（最小二乘、二次规划等）问题、精确计算矩阵秩以及寻找精确正交基的有效方法。
Keyword:
QR factorization
Orthogonal matrices
Gram-Schmidt orthogonalization
Exact solution of linear systems
Least squares problems
Quadratic programming
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