Stability in quadratic variation

doi:10.1007/s13348-025-00503-w

Stability in quadratic variation

2026-01-01

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DOI：10.1007/s13348-025-00503-w

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考虑一个右连续左极限过程序列 \(\{X^n\}_n\) 和一个固定的函数 \(f\)。如果 \(f\) 是连续的，则在多种收敛模式下，\(X^n \rightarrow X\) 由于连续映射蕴含 \(f(X^n) \rightarrow f(X)\)。我们研究在 \(f\)、\(\{X^n\}_n\) 和 \(X\) 的何种条件下，\(X^n \rightarrow X\) 蕴含 \([f(X^n) - f(X)] \rightarrow 0\)。虽然这本身很有趣，但通过分部积分和 Kunita-Watanabe 不等式，这也直接关系到积分器在 \(\int_0^t Y_{s-} df(X^n_s) \rightarrow \int_0^t Y_{s-} df(X_s)\) 意义上的收敛。我们证明了当 \(f \in C^1\)、\(\{X^n\}_n, X\) 是 Coquet 等人（J Theor Probab 16:197, 2023）定义的 Dirichlet 过程时，\(X^n \xrightarrow{a.s.} X\)、\([X^n - X] \xrightarrow{a.s.} 0\) 且 \(\{(X^n)^*_t\}_n\) 在概率中是有界的稳定性。我们还放宽了对 \(f\) 的条件，使其成为右连续左极限函数的原函数，但附加了对 \(X\) 的假设，即 \(X\) 的连续部分和间断部分是独立的随机过程（然而，这一假设并未施加于 \(\{X^n\}_n\)）。对于此设置，我们证明了新的 Itô 分解，这是对 Coquet 等人（2023）中发现的分解的改进。

Keyword:

Stability

Quadratic variation

Cadlag processes

Dirichlet processes

Continuous mapping

Stability in quadratic variation

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