Stratified Sampling Algorithms for Machine Learning Methods in Solving Two-scale Partial Differential Equations

Eddel Elí Ojeda Avilés

doi:10.1007/s10915-025-03024-7

Stratified Sampling Algorithms for Machine Learning Methods in Solving Two-scale Partial Differential Equations

2025-08-15

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Eddel Elí Ojeda Avilés

DOI：10.1007/s10915-025-03024-7

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偏微分方程（PDEs）中的多尺度方程或定义在足够大域上的方程出现在科学与工程的各个领域，并在数值逼近解时常常带来问题。机器学习技术是求解PDEs的一种相对较新的方法。尽管为逼近PDEs而开发的机器学习策略数量日益增多，但许多仍专注于相对较小的域。当缩放方程时，会自然获得大域，尤其是在解表现出多尺度特征时。本研究考察了两尺度方程，其解结构表现出不同特征：在某些区域高度局部化，而在其他区域显著平坦。为了更准确地逼近解，这两个区域必须在大域上得到充分处理。我们关注由激活函数在大域上的梯度消失区域引起的梯度消失问题，并提出了一种分层采样算法来应对这一问题。我们将整个域上的经典均匀随机采样方法与所提出的分层采样方法进行了比较。数值结果证实，所提出的方法比经典方法产生更准确且一致的解。

Keyword:

Stratified sampling

Physics-Informed Neural Networks

Reaction-Diffusion equations

Vanishing gradient problem

Multi-scale PDEs

Stratified Sampling Algorithms for Machine Learning Methods in Solving Two-scale Partial Differential Equations

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