Testing and Learning Structured Quantum Hamiltonians

Srinivasan Arunachalam

doi:10.1007/s00220-025-05517-w

Testing and Learning Structured Quantum Hamiltonians

2025-12-08

0

OA

AI

S

Srinivasan Arunachalam *

A

Arkopal Dutt

F

Francisco Escudero Gutiérrez

DOI：10.1007/s00220-025-05517-w

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摘要

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我们考虑通过查询其演化算子 \( U = e^{-i H t} \) 来测试和学习一个 \( n \)-量子比特哈密顿量 \( H = \Sigma(x) \lambda(x) \sigma(x) \)（以泡利基表示）的问题。为此，我们证明了以下结果。1. 测试：我们给出一个容错测试协议，用于判定一个哈密顿量在系数的 \( l^2 \) 范数下是否与 \( k \)-局域哈密顿量 \( \epsilon_1 \)-接近或 \( \epsilon_2 \)-远离 \( k \)-局域，仅需 \( O(1/(\epsilon_2 - \epsilon_1)^4) \) 次查询，从而解决了 Bluhm、Caro 和 Oufkir（Bluhm, A., Caro, M.C., Oufkir, A.）近期工作中提出的两个开放性问题。我们给出一个协议，用于测试一个哈密顿量在系数的 \( l^2 \) 范数下是否与 \( s \)-稀疏哈密顿量 \( \epsilon_1 \)-接近或 \( \epsilon_2 \)-远离 \( s \)-稀疏，仅需 \( O(s^6/(\epsilon_2^2 - \epsilon_2^1)^6) \) 次查询。2. 学习：我们给出一个协议，用于在系数的 \( l^\infty \) 范数下 \( \epsilon \)-学习无结构哈密顿量，仅需 \( O(1/\epsilon^4) \) 次查询。结合非交换 Bohnenblust-Hille 不等式，我们得到一个在系数的 \( l^2 \) 范数下学习 \( k \)-局域哈密顿量的算法，仅需 \( O(\exp(k^2 + k \log(1/\epsilon))) \) 次查询。对于在泡利基下 \( s \)-稀疏的哈密顿量，我们可以在 \( l^2 \) 范数下用 \( O(s^2/\epsilon^4) \) 次查询学习它们。3. 无量子内存学习：上述学习结果不依赖于系统大小 \( n \)，但需要 \( n \)-量子比特量子内存。我们给出子程序，允许我们在无需量子内存的情况下重现所有上述学习结果；查询复杂度平方增长，并在局域情况下付出 \( \log n \) 因子的代价，在稀疏情况下付出 \( n \) 因子的代价。4. 无量子内存测试：我们给出一个名为泡利哈希的新子程序，允许在 \( l^2 \) 范数下容错测试 \( s \)-稀疏哈密顿量，仅需 \( O(s^{14}/(\epsilon_2^2 - \epsilon_2^1)^{18}) \) 次查询。关键在于证明 \( s \)-稀疏泡利信道可以在金刚石范数下容错测试，判定其是否 \( \epsilon_1 \)-接近 \( s \)-稀疏或 \( \epsilon_2 \)-远离 \( s \)-稀疏，仅需 \( O(s^2/(\epsilon_2 - \epsilon_1)^6) \) 次查询，通过泡利哈希实现。为了证明这些结果，我们证明了关于局域哈密顿量、稀疏泡利信道和稀疏哈密顿量的新结构定理。我们通过多项式更弱的下界补充了我们的学习算法。此外，我们的算法使用短时间演化，且不假设对泡利谱支撑项的先验知识，即不需要哈密顿量支撑的先验知识。

Keyword:

Quantum Hamiltonians

Testing protocols

Learning algorithms

Sparse Hamiltonians

Pauli basis

Testing and Learning Structured Quantum Hamiltonians

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