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The eigenvector bead process
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AI
DOI：10.1088/1751-8121/ae5560.png)
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摘要
En 中文
我们研究了大小为 (N+K)×(N+K) 的 Wigner 矩阵 HN+K 的特征向量与其主子矩阵 HN（大小为 N×N）的特征向量之间的重叠矩阵，对于实对称（beta = 1）和复 Hermitian（beta = 2）两类集合，在 N → ∞ 而 K 保持固定的情形下。我们的分析得出两个主要结果。（i）在谱的内部区域，与能量水平 E 处特征值关联的 HN+K 的特征向量主要投影到位于相同局部谱水平的 HN 的特征向量上。这一现象，我们称之为局部投影，突显了特征基在矩阵增长下的稳健稳定性。（ii）在谱的边缘处，连续子矩阵的主特征空间之间的基变换渐近由一个阶为 N-1/3 的随机反对称扰动所支配。在两种情况下，我们都提供了以 Airy 和 Sine 核表示的重叠的渐近律。我们进一步将分析扩展到 Wishart 矩阵的情形，即形如 W = X^⊤X 的样本协方差矩阵，其中 X 是一个元素属于 R^{T×N} 的矩阵，具有独立同分布的随机条目。我们为 W 的连续子矩阵的特征向量之间的重叠建立了类似结果，包括谱的内部区域以及谱的边缘（软边缘和硬边缘）。极限律与 Wigner 情形具有相同的普适结构，仅依赖于显式常数，这些常数取决于纵横比 q = N/T。这表明特征向量重叠过程在各类随机矩阵集合中具有普适性。
Keyword:
random matrices
eigenvector overlaps
spectral analysis
wigner ensemble
wishart ensemble
asymptotic universality