拉丁超立方抽样：原理、示例与 Python 教程

拉丁超立方抽样是一种选择样本点的方法，目的是确保每个输入变量都得到均匀覆盖。你需要将每个输入变量划分为若干个相等的区间，并从每个区间中选取一个点。与普通随机抽样相比，这种方法能够更好地分散样本点，因此可以减少运行耗时较长的模型所需的次数。

它解决了什么问题

假设你的计算机模型有三个输入变量，每次运行都需要一个小时。你只能负担大约50次运行，但仍然希望测试每个输入变量的完整取值范围。

随机抽样可能会让你失望。由于随机性，许多样本点可能集中在某个角落，而其他区域却没有任何样本点。这种方法有助于避免这种情况。

拉丁超立方抽样如何工作

规则如下。如果你想要n个样本点，就将每个输入变量划分为n个概率相等的区间。从每个区间中恰好选取一个点。然后随机打乱不同输入变量之间区间的配对方式。

McKay、Beckman和Conover在1979年发表于《Technometrics》期刊的一篇论文中介绍了这种方法。如今，它广泛应用于模拟、不确定性检验以及依赖计算机模型的定量研究。

五个样本点的示例

让我们对两个输入变量X和Y进行抽样，它们的取值范围都在0到1之间。我们需要5个样本点。

为每个输入变量创建5个区间。每个区间的宽度为0.2：0到0.2、0.2到0.4、0.4到0.6、0.6到0.8，以及0.8到1。
在每个区间内选择一个X值：0.12、0.31、0.55、0.78、0.93。
在每个区间内选择一个Y值：0.07、0.35、0.47、0.64、0.86。
打乱Y值的顺序，然后将它们与X值配对。

以下是一种可能的结果：

样本点	X	Y	X区间	Y区间
1	0.12	0.47	第1个	第3个
2	0.31	0.86	第2个	第5个
3	0.55	0.07	第3个	第1个
4	0.78	0.64	第4个	第4个
5	0.93	0.35	第5个	第2个

以下是在5乘5网格中的展示：

	X1	X2	X3	X4	X5
Y5		●
Y4				●
Y3	●
Y2					●
Y1			●

每一行和每一列都恰好包含一个样本点。不同的随机排列会产生不同的样本，但其效果同样好。

为什么称为“拉丁超立方”？

拉丁方是一个网格，其中每个符号在每一行和每一列中都只出现一次。这种方法遵循相同的规则。超立方体则是将这一概念扩展到两个以上输入变量的情况。

拉丁超立方抽样与其他方法的比较

方法	样本点的选择方式	优势	不足之处
简单随机抽样（蒙特卡洛）	每个样本点都是独立的	简单，适用于任何规模	可能出现空白区域和样本点聚集
拉丁超立方抽样	每个输入变量的每个区间选择一个点	每个输入变量都能得到均匀覆盖	不同变量的组合仍可能集中在一起
完全网格	每种水平组合都进行抽样	完整覆盖	10个水平和6个输入变量意味着需要运行1,000,000次
Sobol或Halton序列	使用固定且均匀分布的序列	通常分布更加均匀	在某些情况下灵活性较低

SciPy文档指出，使用这种方法得到的n个样本点所计算出的估计值，其方差不会高于使用少一个样本点的普通蒙特卡洛方法。此外，当每个输入变量对结果产生各自独立的影响时，这种方法的效果最好。

Oracle的Crystal Ball文档指出，在达到相同准确度的情况下，与蒙特卡洛方法相比，它需要的试验次数更少。SciPy还指出，经过扰乱的Sobol和Halton序列可能表现得更好。

它也不同于日常的数据收集方法，例如调查问卷。在这里，你选择的是模型的参数设置，而不是选择调查对象。

如何在Python中运行

SciPy只需几行代码就可以完成拉丁超立方抽样：

from scipy.stats import qmc

sampler = qmc.LatinHypercube(d=2, seed=42)

sample = sampler.random(n=5)

scaled = qmc.scale(sample, [0, 2], [10, 5])

前面的代码用于为2个输入变量选择5个样本点。最后一行代码将它们转换为实际取值范围：X从0到10，Y从2到5。

SciPy文档列出了一些实用选项。Scramble会将样本点随机放置在每个单元格内。Optimization可以改善样本点在空间中的均匀分布，但需要消耗更多计算时间。将Strength设置为2可以构建正交数组版本，但只适用于某些特定的样本数量。

想要一个符合钟形曲线的输入变量？使用该分布的逆累积分布函数转换每一列。在SciPy中，这就是ppf方法。

什么时候使用它

当每次模型运行都非常缓慢或成本较高时，可以使用这种方法。如果你有多个输入变量，并且希望测试每个变量的整个取值范围，它也是一个不错的选择。人们经常使用它进行不确定性检验以及构建代理模型。

如果你之后需要增加样本点，就应该仔细考虑。普通版本会提前固定n的数量，而额外增加样本点会破坏每个区间恰好选择一个点的规则。Sobol序列则更容易扩展。

如果你的输入变量之间存在很强的相关性，就需要格外小心。基本方法假设这些输入变量彼此独立。

局限性和常见错误

每个输入变量得到均匀覆盖，并不意味着整个空间也得到了均匀覆盖。一组沿对角线分布的样本点仍然符合拉丁超立方的规则，但空间覆盖效果却很差。这就是为什么会出现优化版本。

不存在神奇的样本数量。一些研究人员建议每个输入变量大约使用10个样本点作为起点，但这只是一条经验法则。

注意避免以下错误。不要忘记将单位区间中的数值转换为实际取值范围。对于不服从均匀分布的输入变量，不要跳过逆累积分布函数转换步骤。还要设置随机种子，以便重复获得相同的结果。

此外，使用不同的随机种子运行几次。使用类似变异系数这样的指标比较结果，以了解它们的稳定程度。

最后的思考

拉丁超立方抽样能够以较少的运行次数，让每个输入变量都得到均匀覆盖。可以先在一个小型模型上尝试。使用SciPy生成10个样本点，将它们绘制出来，再与10个普通随机样本点进行比较。

常见问题

它比随机抽样更好吗？

对于小样本和运行缓慢的模型，通常是的。它能够确保每个输入变量的取值范围都得到均匀覆盖。

我可以之后增加更多样本点吗？

不能直接增加。请提前规划样本数量，或者考虑使用Sobol序列。

它适用于其他分布吗？

适用。首先在概率范围内进行均匀抽样，然后使用该分布的逆累积分布函数转换数值。

我需要多少个样本？

这取决于你的输入变量和模型。从你的预算开始，使用几个不同的随机种子进行测试，如果结果持续变化，就增加样本点。

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