什么是标准差？如何计算标准差？

标准差（SD）是衡量数据之间差异程度的指标。当标准差较小时，大多数数值都接近平均值。当标准差较大时，数值就会分散在更广的范围内。

想象有两个班级，考试平均分都是 70 分。在第一个班级中，没有人的成绩低于 68 分或高于 72 分。而在第二个班级中，成绩从 50 分一直到 90 分不等。仅凭平均分，你根本无法看出这种差异，而这正是标准差能够弥补的信息缺口。

标准差究竟衡量什么？

标准差大致衡量一个典型数值与平均值之间的距离。它使用与原始数据相同的单位，因此很容易理解。假设某组成年人的身高标准差为 7 厘米，那么大多数人的身高大约比平均身高高或低 7 厘米。如果标准差为 0 呢？那就意味着所有人的身高完全相同。

顺便说一下，你永远不会看到负标准差。因为距离不可能小于零。

让我们用实际数字来看看这两个班级。A 班的成绩分别为 68、70、70 和 72 分。B 班的成绩分别为 50、60、80 和 90 分。如果将每个班级都视为完整总体，那么 A 班的标准差约为 1.4 分。B 班呢？大约为 15.8 分。平均分相同，但数据的分散程度却截然不同。

标准差这个术语有着悠久的历史。Karl Pearson 于 1894 年首次在著作中使用这一术语，直到今天，它仍然是你最常遇到的离散程度衡量指标。

如何逐步计算标准差？

首先计算平均值。然后找出每个数值与平均值之间的差距，将这些差值平方，以防止正负数相互抵消，再将平方结果相加。如果你拥有整个总体的数据，就除以 N；如果是样本，就除以 n − 1。这样得到的就是方差。再对方差开平方根，就得到了标准差。

通过一个例子会更容易理解。假设一辆公交车在 8 次行程中分别晚点了 2、4、4、4、5、5、7 和 9 分钟。

1. 平均值为 40 ÷ 8，也就是 5 分钟。

2. 每次行程与平均值之间的差值为：−3、−1、−1、−1、0、0、2、4。

3. 将这些差值平方，得到 9、1、1、1、0、0、4、16。它们的总和为 32。

4. 对于总体，32/8=4。对于样本，32/7 约等于 4.57。

5. 计算平方根。总体标准差为 2 分钟，样本标准差约为 2.14 分钟。

简单来说，一次典型行程的晚点时间与通常的 5 分钟晚点时间相差约 2 分钟。

如果你更喜欢使用公式，下面就是相应的计算公式。Σ 符号仅表示“将所有数值相加”。

总体：σ = √[ Σ(x − μ)² / N ]

样本：s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]

[在这里添加你自己的例子：一个你实际使用过的数据集，以及它的标准差告诉了你什么。]

应该使用样本标准差还是总体标准差？

这取决于你的数据涵盖了哪些对象。如果你拥有整个群体中每个成员的数据，例如你正在评分的全部 30 名学生，那么应使用总体标准差，并除以 N。如果你只有一个更大群体中的部分数据，并希望估计整个群体的离散程度，那么应使用样本标准差，并除以 n − 1。大多数已发表的研究报告使用的是样本标准差。

那么，为什么要除以 n − 1，而不是直接除以 n 呢？因为样本平均值是根据你自己的数据计算出来的，所以它自然会比真实的总体平均值更接近这些样本数值。这会让差值看起来比实际情况略小。除以 n − 1（称为贝塞尔校正）可以适当提高估计值，使其更接近应有的水平。

如何解读钟形曲线上的标准差？

如果你的数据大致呈钟形分布，那么约 68% 的数值会落在平均值上下 1 个标准差的范围内。将范围扩大到 2 个标准差，就能涵盖约 95% 的数值。扩大到 3 个标准差时，则能涵盖约 99.7% 的数值。这被称为经验法则。如果数据不呈钟形分布呢？切比雪夫不等式仍然保证至少 75% 的数值落在 2 个标准差范围内，至少 89% 的数值落在 3 个标准差范围内。

智商分数是一个很好的现实案例。智商测试通常采用平均值为 100、标准差为 15 的评分标准。这意味着约 68% 的人的智商分数位于 85 到 115 之间。

什么样的标准差才算好？

实际上，并不存在一个适用于所有情况的标准数值。这完全取决于你测量的内容。对于灌装瓶子的工厂来说，标准差越小越好，因为这意味着每个瓶子的灌装量几乎相同。投资者则会将收益率较大的标准差视为波动更大、风险更高的信号。因此，始终要将标准差与某个参照值进行比较，例如平均值、过去的结果或目标值。

这时，变异系数（CV）就很有用了。计算方法是将标准差除以平均值，再乘以 100%。当平均值为 10 时，标准差为 5 就非常大（变异系数为 50%）。但当平均值为 1,000 时，变异系数仅为 0.5%，几乎可以忽略不计。不过有一个限制：变异系数只适用于具有真正零点的数据，例如重量。对于摄氏温度这样的数据，使用变异系数就没有意义。

标准差与方差和标准误差有什么区别？

这三个概念经常被混淆。方差就是标准差的平方，因此它的单位也是平方单位，这使得它不太容易理解。标准误差（SE）是标准差除以 √n。它根本不是用来描述数据的分散程度的，而是告诉你对平均值的估计有多精确。Altman 和 Bland（《英国医学杂志》，2005 年）指出，研究人员经常混淆这两个概念。

下面使用前面的公交车示例来比较它们：

看到标准误差（SE）小了多少吗？这就是为什么显示“平均值 ± SE”的误差棒看起来比显示“平均值 ± SD”的误差棒窄得多。如果你正在阅读一篇内容复杂的研究论文，却无法判断作者使用的是哪一种指标，可以先使用 Canyam 总结研究论文，更快地找到关键数据。

如何在 Excel、Google Sheets 或 Python 中计算标准差？

电子表格可以让计算变得很快捷。在 Excel 或 Google Sheets 中，计算样本标准差时输入 =STDEV.S(A2)，计算总体标准差时输入 =STDEV.P(A2)。较旧的 =STDEV 函数与 STDEV.S 的计算方式相同。不过，Python 中有一个容易忽略的陷阱。NumPy 的 np.std() 默认计算总体标准差，而 pandas 的 .std() 默认计算样本标准差。输入相同的数据，却会得到两个不同的结果。

如果你想在 NumPy 中计算样本标准差，请使用 np.std(x, ddof=1)。

人们在使用标准差时会犯哪些错误？

有几种错误经常反复出现：

• 对样本数据使用 STDEV.P，或者在不同工具之间切换时没有检查它们的默认设置。

• 报告的是标准误差（SE），却将其标记为标准差（SD）。

• 将 68、95、99.7 法则用于收入或等待时间等偏态数据。

• 在单位不同或平均值差异很大的情况下直接比较标准差，而实际上使用变异系数（CV）会更合适。

• 忘记将差值平方。如果只是将各个数值与平均值之间的原始差值相加，结果始终为零。

标准差有哪些局限性？

标准差有一个弱点：异常值。由于它会将每个差值平方，因此一个极端数值的影响会被不成比例地放大。对于偏态数据，中位数和四分位距（IQR）通常能够更准确地反映数据情况。四分位距涵盖数据中间 50% 的数值，因此单个极端数值不会轻易影响它。

看看一个异常值能造成多大的影响。假设有五个人的工资分别为 30、32、35、38 和 40 千。样本标准差约为 4 千。现在将 40 改为 400。标准差突然上升到约 164 千。与此同时，中位数仍然保持在 35，没有发生变化。

想知道你所在领域的研究人员如何处理偏态数据吗？Canyam 的文献帮助功能是深入查找相关研究的好地方。

结论

标准差可以将一组杂乱的数字转化为一个能够真实反映数据分散程度的指标。选择正确的标准差类型，不要将其与标准误差混淆，并在使用 68、95、99.7 法则之前检查数据的分布形态。

想真正掌握这个概念吗？从自己的日常生活中选取几个数字，例如每周支出或通勤所需时间。先手动计算一次标准差，然后使用 =STDEV.S 检查答案。这样做之后，你就不会忘记标准差是如何计算的。你还可以在 Canyam 博客上找到更多类似的通俗易懂的指南。

常见问题

标准差可以大于平均值吗？

可以，而且这种情况比你想象的更常见。在许多数值接近零的偏态数据中，这种情况很常见，例如每日降雨量或小额消费。这只是意味着与平均值相比，数据的分散程度非常大。

样本量越大，标准差就越小吗？

并不一定。标准差估计的是整个群体实际的分散程度，而收集更多数据并不会改变这一点。真正会减小的是标准误差，因为更大的样本量能够更精确地估计平均值。

研究论文中的“平均值 ± SD”是什么意思？

这是表示平均值及其离散程度的简写。如果你看到“72 ± 8 kg”，表示平均体重为 72 千克，大多数数值与平均值的差距约在 8 千克以内。

计算标准差至少需要多少个数值？

计算样本标准差至少需要两个数值，因为计算时需要除以 n − 1。即便如此，仅使用少量数值也只能得到一个不太稳定的估计结果，因此根据这些结果得出结论时需要谨慎。

Canyam 是什么？

Canyam 是一个学术研究发现平台。你可以搜索超过 6500 万篇研究论文，并阅读 AI 生成的摘要，从中提取关键研究发现、研究方法和引用文献。