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摘要
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我们发现安妮和托比，如同他们每晚的例行活动一样，在萨莱多学院图书馆学习。萨莱多学院是一所位于德克萨斯州中心宁静村庄内的小型私立学院。托比是一名初次入学的大学新生，尚未确定专业方向，他具有敏锐的直觉。安妮是一名大三学生，最近决定主修数学。她在一次海外学习项目期间，从政治学专业转到了数学专业。她修过两门关于证明的课程，一门是所有学生必修的，另一门是数学专业必修的。她有强迫性的分析倾向，对语言的使用极其谨慎。这两门课程除了要求情感成熟和具备一定的数学天赋外，没有其他先修要求。安妮在一个大约三十英里外的农场长大，她的父母种植棉花和玉米，现在主要种植玉米。托比在一个小镇的郊区长大。可以说，他们在成长过程中都受到一定的保护。两人都是各自高中的荣誉生。尽管准备程度不同，安妮和托比都在布拉德福德博士的第一门微积分课程中学习。考虑到她接触过严格的证明，她对空集的质疑可能会让读者感到奇怪。出于哲学原因，她所修的两门证明课程中的所有集合至少包含一个元素，这是对早期空集未被提及的时代的追溯，有时甚至被认为是一个禁忌概念。她的这两门课程教授在博士论文答辩时甚至因未考虑空集而受到质疑；当时这一纯粹哲学性质的问题引起了争议。当然，他在更高级的课程中允许使用空集，以便他的学生具备与未来同事兼容的背景。安妮和托比在布拉德福德博士的微积分课程中有一些紧急的作业。他决定给他们一些补充内容，这是一门在当代微积分课程中不受重视但几十年前曾是微积分课程严肃研究主题的学科；实数的完备性，有时也称为连续统。他们一直在努力理解布拉德福德博士关于这一主题的讲座，特别是他给他们的一个开放式挑战问题，即证明数轴上不存在间隙。这是戴德金在1872年开创性论文《连续性与无理数》中使用的术语。布拉德福德博士为他的班级做了一次讲座，介绍了可能对学生有用的概念。他还告诉他们，他们可以使用下面给出的S1S2属性，作为实数连通性的替代，这是一个对学生来说是新概念的概念：如果S1和S2是两个点集，每个集合至少包含一个点，且每个点属于其中一个集合，S1的每个点都在S2的每个点的左侧，那么S1有一个最后一个点或S2有一个第一个点，但不能同时满足。他介绍了公理系统，特别是线性点集理论的公理系统，其中“点”未被明确定义。该公理系统共有四条公理，尽管学生只需要S1S2属性或公理。读者会注意到感官参照物的使用。请参见/10]的最后一页以获得该概念的完整描述；然而，我鼓励读者仔细阅读整篇论文，您可能会发现一种全新的视角。
Keyword:
calculus
empty sets
completeness of the reals
Dedekind
S1S2 property
